Question

已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，离心率为

6

3

．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N，当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆方程，利用椭圆的一个顶点为A（0，-1），离心率为

6

3

，确定几何量，从而可得椭圆的方程；
（2）设P为弦MN的中点，直线与椭圆方程联立得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，由于直线与椭圆有两个交点，可得m²＜3k²+1，|AM|=||AN|，可得AP⊥MN，由此可推导出m的取值范围．

解答：解：（1）∵椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)…（1分）
又椭圆的一个顶点为A（0，-1），离心率为

6

3

∴b=1，e=

c

a

=

6

3

即b=1，c=

6

3

a…（2分）
又a²=b²+c²∴a2=1+

2

3

a2…（3分）
∴a²=3…（4分）
∴椭圆的方程为：

x2

3

+y2=1…（5分）
（2）设P（x_P，y_P）、M（x_M，y_M）、N（x_N，y_N），P为弦MN的中点，
直线y=kx+m与椭圆方程联立，消去y可得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，
∵直线与椭圆相交，∴△=（6mk）²-12（3k²+1）（m²-1）＞0，∴m²＜3k²+1，①
由韦达定理，可得P（

-3km

1+3k2

，

m

1+3k2

）
∵|AM|=||AN|，∴AP⊥MN，
∴kAP•k=

m 1+3k2 +1

- 3km 1+3k2

•k=-1
∴2m=3k²+1②
把②代入①得2m＞m²解得0＜m＜2
∵2m=3k²+1＞1，∴m＞

1

2

∴

1

2

＜m＜2．

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．