Question

在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的参数方程为

x=t2 y=2t

（t为参数），直线l的极坐标方程为2ρsin（

π

3

-θ）=

3

（Ⅰ）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C与直线l的交点为A、B两点，求△OAB（O为坐标原点）的面积．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）直接消掉参数t得抛物线的直角坐标方程，展开两角差的正弦，代入x=ρcosθ，y=ρsinθ得直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）联立直线方程和抛物线方程，化为关于y的方程后求解y的值，然后直接代入三角形的面积公式得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由

x=t2 y=2t

，得y²=4x．
由2ρsin（

π

3

-θ）=

3

，得2ρsin

π

3

cosθ-2ρcos

π

3

sinθ=

3

．
整理得

3

ρcosθ-ρsinθ=

3

，即

3

x-y-

3

=0；
（Ⅱ）将

3

x-y-

3

=0代入y²=4x，得y2-

4

3

y-4=0．
解得：y=2

3

或y=-

2 3

3

．
∴S△OAB=

1

2

×1×(2

3

+

2 3

3

)=

4 3

3

．

点评：本题考查了参数方程化普通方程，考查了极坐标方程直角坐标方程，考查了直线与圆锥曲线好、间的关系，是基础题．