Question

已知f（log₂x）=

x2-2x+1

（1）求f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）的单调区间；
（3）比较f（x+1）与f（x）的大小．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数解析式的求解及常用方法,不等关系与不等式

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）用换元法求f（x）的解析式；（2）根据基本初等函数的单调性说明y=f（x）的单调区间；（3）通过单调性比较两个数的大小，注意分类讨论．

解答： 解：（1）令t=log₂x，则x=2^t；
∴f(t)=

(2t-1)2

=|2t-1|，
∴f（x）=|2^x-1|．
（2）f（x）=|2^x-1|=

2x-1，x≥0 1-2x，x＜0

，
则f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．
（3）①当x+1＜0，即x＜-1时，
∵x＜x+1＜0，∴f（x）＞f（x+1）；
②当x＞0时，
∵0＜x＜x+1，∴f（x）＜f（x+1）；
③当x＜0＜x+1，即-1＜x＜0时，
f（x+1）-f（x）=2^x+1-1-（1-2^x）
=2^x+1+2^x-2=3.2^x-2，

当-1＜x≤log2 2 3     f(x+1)≤f(x) 当log2 2 3 ＜x＜0       f(x+1)＞f(x)

，
综上：

x≤log2 2 3     f(x+1)≤f(x) x＞log2 2 3     f(x+1)＞f(x)

．

点评：本题考查了换元法求函数解析式，函数的单调性的判断及利用单调性比较两个数的大小，注意必要的分类讨论．