Question

在△ABC中，内角A、B、C对边分别是a、b、c，已知c=2，C=

π

3

（1）求△ABC的面积S的最大值；
（2）若sinC+sin（B-A）=sin2A，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用余弦定理列出关系式，将c与cosC的值代入，整理后利用基本不等式求出ab的最大值，即可确定出三角形面积的最大值；
（2）已知等式左边变形后，利用和差化积公式变形，右边利用二倍角的正弦函数公式化简，整理得到A的度数为

π

2

或A=B，即可确定出三角形ABC面积．

解答： 解：（1）∵c=2，C=

π

3

，
∴由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

，即

a2+b2-4

2ab

=

1

2

，
整理得：a²+b²=ab+4，
∵a²+b²≥2ab，
∴ab+4≥2ab，即ab≤4，
∴S=

1

2

absinC=

3

4

ab≤

3

，当且仅当a=b时取等号，
则S的最大值为

3

；
（2）将sin（A+B）+sin（B-A）=sin2A，化简得：2sinBcosA=2sinAcosA，
∴cosA=0或sinA=sinB，
∵A与B都为三角形内角，
∴A=

π

2

或A=B，
当A=

π

2

时，S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

bc=

2 3

3

；
当A=B时，△ABC为等边三角形，S_△ABC=

1

2

c²sin

π

3

=

3

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．