Question

已知无穷数列{a_n]满足：a₁=1，2a₂=a₁+a₃，且对于任意n∈N^*，都有a_n＞0，a²_n+1=a_na_n+2+4．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件，令n=1，得a22=a₁a₃+4，令n=2，得a32=a2a4+4，由此能求出a₂，a₃，a₄的值．
（2）由an+12=a_na_n+2+4，得an+22=an+1an+3+4，由此推导出数列{

an+an+2

an+1

}为常数数列从而能求出a_n=2n-1．

解答： 解：（1）由条件，?n∈N^*，an+12=a_na_n+2+4，
令n=1，得a22=a₁a₃+4．…（2分）
又∵2a₂=a₁+a₃，且a₁=1，解得a₂=3，a₃=5．…（4分）
再令n=2，得a32=a2a4+4，解得a₄=7． …（6分）
（2）∵an+12=a_na_n+2+4，①
∴an+22=an+1an+3+4，②
由①-②得，an+12-an+22=（a_na_n+2+4）-（a_n+1a_n+3+4）
=a_na_n+2-a_n+1a_n+3 …（8分）
∴an+12+an+1an+3=an+22+anan+2，
∴a_n+1（a_n+1+a_n+3）=a_n+2（a_n+a_n+2），
∴

an+an+2

an+1

=

an+1+an+3

an+2

，∴数列{

an+an+2

an+1

}为常数数列．…（12分）
∴

an+an+2

an+1

=

a1+a3

a2

=2，
∴a_n+a_n+2=2a_n+1，
∴数列{a_n}为等差数列．  …（14分）
又公差d=a₂-a₁=2，∴a_n=2n-1．…（16分）

点评：本题考查数列中前4项的求法，考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．