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. (本小题满分12分)

已知定义在R上的函数的图像关于原点对称,且x=1时,f(x)取极小值

(Ⅰ)求f(x)的解析式;

(Ⅱ)当x∈[-1,1]时,图像上是否存在两点,使得在此两点处的切线互相垂直?证明你的结论.

解:(Ⅰ) 因为函数的图像关于原点对称,

所以对任意恒成立,

对任意恒成立,

所以恒成立,故,…………………3分

时,取极小值,所以,且

所以………………①

……………………②

解得:

所以,()…………………………………………………6分

(Ⅱ)当时,图像上不存在两点使得过此两点处的切线互相垂直.

证明如下:(方法1,用反证法)

假设在的图像上存在两点,使得在此两点处的切线互相垂直,由(Ⅰ) 可知,且在两点处的切线斜率均存在.

由假设则有,…………………………8分

从而

另一方面,,所以,所以

与前式显然矛盾.所以,

时,图像上不存在两点使得在此两点处的切线互相垂直.………………12分

(方法2)

的图像上两点,由(Ⅰ) 可知

且在点和点处的两条切线的斜率均存在.

不妨设在点处的切线斜率为,在点处的切线斜率为

;………………8分

所以 

由题意,

所以,即

综上所述,当时,图像上不存在两点使得在此两点处的切线互相垂直. ……12分


解析:

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3
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|=6,
ON
=
5
OM
.过点M作MM1丄y轴于M1,过N作NN1⊥x轴于点N1
OT
=
M1M
+
N1N
,记点T的轨迹为曲线C.
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=3
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