. (本小题满分12分)
已知定义在R上的函数的图像关于原点对称,且x=1时,f(x)取极小值.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)当x∈[-1,1]时,图像上是否存在两点,使得在此两点处的切线互相垂直?证明你的结论.
解:(Ⅰ) 因为函数的图像关于原点对称,
所以对任意恒成立,
即对任意恒成立,
所以恒成立,故,…………………3分
故,
又时,取极小值,所以,且,
所以………………①
……………………②
解得:,;
所以,()…………………………………………………6分
(Ⅱ)当时,图像上不存在两点使得过此两点处的切线互相垂直.
证明如下:(方法1,用反证法)
假设在的图像上存在两点,,使得在此两点处的切线互相垂直,由(Ⅰ) 可知,且在两点处的切线斜率均存在.
由假设则有,…………………………8分
从而,
另一方面,,所以,所以,
与前式显然矛盾.所以,
当时,图像上不存在两点使得在此两点处的切线互相垂直.………………12分
(方法2)
设,为的图像上两点,由(Ⅰ) 可知,
且在点和点处的两条切线的斜率均存在.
不妨设在点处的切线斜率为,在点处的切线斜率为,
则 ,;………………8分
所以 ,
由题意,,
所以,即
综上所述,当时,图像上不存在两点使得在此两点处的切线互相垂直. ……12分
略
科目:高中数学 来源: 题型:
ON |
ON |
5 |
OM |
OT |
M1M |
N1N |
OP |
OA |
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科目:高中数学 来源: 题型:
(本小题满分12分)已知关于的一元二次函数 (Ⅰ)设集合P={1,2, 3}和Q={-1,1,2,3,4},分别从集合P和Q中随机取一个数作为和,求函数在区间[上是增函数的概率;(Ⅱ)设点(,)是区域内的随机点,求函数上是增函数的概率。
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科目:高中数学 来源: 题型:
(本小题满分12分) 一几何体的三视图如图所示,,A1A=,AB=,AC=2,A1C1=1,在线段上且=.
(I)证明:平面⊥平面;
(II)求二面角的余弦值.
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