Question

（本小题满分12分）

已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面⊥平面，△是正三角形， 、、分别是、、的中点．

（I）求证：平面；

（II）求平面与平面所成锐二面角的大小.

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：方法1：（I）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，，

∴平面PAD，                                           

∵E、F为PA、PB的中点，

∴EF//AB，∴EF平面PAD；                                   …………（6分）

（II）解：过P作AD的垂线，垂足为O，

 

 

∵，则PO 平面ABCD．

取AO中点M，连OG，,EO,EM,

∵EF //AB//OG,

∴OG即为面EFG与面ABCD的交线…………（8分）

又EM//OP,则EM平面ABCD．且OGAO,

故OGEO  ∴ 即为所求       …………（10分）

 ，EM＝ＯＭ＝１ 

∴tan＝故 ＝              

∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小是   …………（12分）

方法2：（I）证明：过P作P O　AD于O，∵，

则PO 平面ABCD，连OG，以OG，OD，OP为x、y、z轴建立空间坐标系，   ……（2分）

 

 

∵PA＝PD　，∴，

得，

， 　　　　 …………（4分）

故，

∵，

∴EF　平面PAD；                         …………（6分）

（II）解：，

设平面EFG的一个法向量为 

则， ，    …………（8分）

平面ABCD的一个法向量为……（10分）

平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值是：

，锐二面角的大小是；              …………（12分）

【解析】略