Question

设等差数列{a_n}的公差d≠0，a₁=4d，若a_k是a₁与a_2k的等比中项，则K的值为

3

．

Answer 1

分析：根据等差数列的通项公式表示出a_k与a_2k，由a_k是a₁与a_2k的等比中项，根据等比数列的性质列出关系式，根据公差d不为0化简后得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．

解答：解：由a₁=4d，得到a_k=4d+（k-1）d=（k+3）d，a_2k=4d+（2k-1）d=（2k+3）d，
又a_k是a₁与a_2k的等比中项，所以[（k+3）d]²=4d[（2k+3）d]，
化简得：（k+3）²d²=4（2k+3）d²，由d≠0，
得到：（k+3）²=4（2k+3），即k²-2k-3=0，k为正整数，
解得：k=3，k=-1（舍去），
则k的值为3．
故答案为3．

点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值，掌握等比数列的性质，是一道基础题．