Question

设e1．e2分别为具有公共焦点F₁与F₂的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足

.

PF1

•

.

PF2

=0，则

1

e 2 1

+

1

e 2 2

的值为（　　）

• A、

  1

  2

• B、1
• C、2
• D、4

Answer 1

分析：椭圆的长半轴是a1，双曲线的实半轴是a2，它们的半焦距是c并设PF₁=m，PF₂=n，m＞n，根据椭圆的和双曲线的定义可得m+n=2a1，m-n=2a2，写出两个曲线的离心率，代入要求的式子得到结果．

解答：解：设椭圆的长半轴是a1，双曲线的实半轴是a2，它们的半焦距是c
并设PF₁=m，PF₂=n，m＞n，根据椭圆的和双曲线的定义可得
m+n=2a1
m-n=2a2
解得
m=a1+a2，n=a1-a2
又PF1⊥PF2，由勾股定理得
PF₁²+PF₂²=F₁F₂²
（a₁+a₂）²+（a₁-a₂）²=（2c）²
化简可得
a₁²+a₂²=2c²

1

e 2 1

+

1

e 2 2

=2
故选C．

点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，本题解题的关键是得到两个曲线的参数之间的关系，本题是一个基础题．