Question

（2009•金山区二模）（1）设u、v为实数，证明：u²+v²≥

(u+v)2

2

；（2）请先阅读下列材料，然后根据要求回答问题．
材料：已知△LMN内接于边长为1的正三角形ABC，求证：△LMN中至少有一边的长不小于

1

2

．
证明：线段AN、AL、BL、BM、CM、CN的长分别设为a₁、a₂、b₁、b₂、c₁、c₂，设LN、LM、MN的长为x、y、z，
x²=a₁²+a₂²-2a₁a₂cos60°=a₁²+a₂²-a₁a₂
同理：y²=b₁²+b₂²-b₁b₂，z²=c₁²+c₂²-c₁c₂，
x²+y²+z²=a₁²+a₂²+b₁²+b₂²+c₁²+c₂²-a₁a₂-b₁b₂-c₁c₂
…
请利用（1）的结论，把证明过程补充完整；
（3）已知n边形A₁′A₂′A₃′…A_n′内接于边长为1的正n边形A₁A₂…A_n，（n≥4），思考会有相应的什么结论？请提出一个的命题，并给与正确解答．
注意：第（3）题中所提问题单独给分，解答也单独给分．本题按照所提问题的难度分层给分，解答也相应给分，如果同时提出两个问题，则就高不就低，解答也相同处理．

Answer 1

分析：（1）因为u²+v²≥2uv，所以2（u²+v²）≥（u+v）²，从而有：u²+v²≥

(u+v) 2

2

；
（2）补上：因为 u²+v²≥

(u+v) 2

2

，所以x²+y²+z²≥

(a 1+a 2)  2

2

+

(b 1+b 2) 2

2

+

(c 1+c 2) 2

2

-a₁a₂-b₁b₂-c₁c₂平方化开后再结合条件利用反证法即得．
（3）命题1：已知四边形MNPQ内接于边长为1的正方形ABCD，求证：四边形MNPQ中至少有一边的长不小于

2

2

．
命题2：如图2，已知六边形A₁B₁C₁D₁E₁F₁内接于边长为1的正六边形ABCDEF，求证：六边形A₁B₁C₁D₁E₁F₁中，至少有一边的长不小于

3

2

．
命题3：如图3，已知n边形A₁^′A₂^′…A_n^′内接于边长为1的正n边形A₁A₂…A_n，（n≥4）．求证：n边形A₁′A₂′A₃′…A_n′中，至少有一边的长不小于cos

π

n

（其中n≥3）．下面对三个命题进行证明即可．

解答：证明：（1）因为u²+v²≥2uv，所以2（u²+v²）≥（u+v）²，
即有：u²+v²≥

(u+v) 2

2

…（2分）
（2）因为 u²+v²≥

(u+v) 2

2

所以x²+y²+z²≥

(a 1+a 2)  2

2

+

(b 1+b 2) 2

2

+

(c 1+c 2) 2

2

-a₁a₂-b₁b₂-c₁c₂
=

1

2

[a₁²+a₂²+b₁²+b₂²+c₁²+c₂²]…（3分）
≥

1

2

[

(a 1+c 2) 2

2

+

(a 2+b 1) 2

2

+

(b 2+c 1) 2

2

]=

3

4

，…（4分）
因为x²+y²+z²≥

3

4

，所以x²、y²、z²中至少有一个不小于

1

4

，即在x、y、z中至少有一个不小于

1

2

．…（6分）
（3）解：命题1：如图1，已知四边形MNPQ内接于边长为1的正方形ABCD，求证：四边形MNPQ中至少有一边的长不小于

2

2

．
证明：线段AQ、AM、BM、BN、CN、CP、DP、DQ分别设为a₁、a₂、b₁、b₂、c₁、c₂、d₁、d₂，设MN、NP、PQ、QM为w、x、y、z，
因为a₁+d₂=1，a₂+b₁=1，b₂+c₁=1，c₂+d₁=1，
所以（a₁+a₂）+（b₁+b₂）+（c₁+c₂）+（d₁+d₂）=4
这四组数中至少有一组数不小于1，不妨假定a₁+a₂≥1，那么a₂≥1-a₁，
因为z²=a₁²+a₂²≥a₁²+（1-a₁）²=2a₁²-2a₁+1=2（a₁-

1

2

）²+

1

2

≥

1

2

所以z≥

2

2

，即四边形MNPQ中至少有一边的长不小于

2

2

．
命题：（3分）；证明：（3分）

命题2：如图2，已知六边形A₁B₁C₁D₁E₁F₁内接于边长为1的正六边形ABCDEF，求证：六边形A₁B₁C₁D₁E₁F₁中，至少有一边的长不小于

3

2

．
证明：分别设线段AF₁、AA₁、BA₁、BB₁、…、FE₁、FF₁为a₁、a₂、b₁、b₂、…、f₁、f₂，如图所示．
因为a₁+f₂=1，a₂+b₁=1，b₂+c₁=1，c₂+d₁=1，d₂+e₁=1，e₂+f₁=1，
所以（a₁+a₂）+（b₁+b₂）+…+（f₁+f₂）=6，
这六组数中至少有一组数不小于1，不妨假定a₁+a₂≥1，那么a₂≥1-a₁，
因为A₁F₁²=AA₁²+AF₁²-2AA₁．AF₁cos120°=a₁²+a₂²+a₁a₂
≥a₁²+（1-a₁）²+a₁（1-a₁）=a₁²-a₁+1=（a₁-

1

2

）²+

3

4

≥

3

4

，
所以A₁F₁≥

3

2

，即六边形A₁B₁C₁D₁E₁F₁中，至少有一边的长不小于

3

2

．
命题：（5分）；证明：（5分）


命题3：如图3，已知n边形A₁^′A₂^′…A_n^′内接于边长为1的正n边形A₁A₂…A_n，（n≥4）．求证：n边形A₁′A₂′A₃′…A_n′中，至少有一边的长不小于cos

π

n

（其中n≥3）．
证明：分别设线段A₁ An′、A₁A_1′、A₂A₁′、A₂A₂′、…、A_nA _n-1′、A_nAn′为a₁、a₁′、a₂、a₂′、…、a_n、a_n′，
因为a₁+a′=a₂+a₁′=a₃+a₂′=…=a_n+a _n-1′=1，
所以（a₁+a₁′）+（a₂+a₂′）+…+（a_n+a_n′）=n．
这n组数中至少有一组数不小于1，不妨假定a₁+a₁′≥1，那么a₁′≥1-a₁，
于是在△A₁A₁′A_n′中有：
A₁ An′²=A₁A₁²+A₁A_n²-2 A₁A₁′．A₁A_n′cos

(n-2)π

n

=a₁²+a₁²-2a₁a₁′cos

(n-2)π

n

≥a₁²+（1-a₁）²-2 a₁ （1-a₁） cos

(n-2)π

n

=2[cos

(n-2)π

n

+1]a₁²-2[cos

(n-2)π

n

+1]a₁+1
=2[cos

(n-2)π

n

+1]（ a₁-

1

2

）²+

1

2

[1-cos

(n-2)π

n

]
≥

1

2

[1-cos

(n-2)π

n

]=sin²

(n-2)π

n

=cos²

π

n

．
故A₁′A_n′≥cos

π

n

，即n边形A₁′A₂′A₃′…A_n′中，至少有一边的长不小于cos

π

n

．
命题：（7分）；证明：（7分）

点评：本小题主要考查不等式的证明、数列的应用、三角变换公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．