Question

已知AB是表面积为4π的球的直径，C、D是该球球面上的两点，且BC=CD=DB=1，则三棱锥A-BCD的体积为________．

Answer 1

分析：设AB中点即球心为O．连接OC、OD，取OD中点F，连接BF、CF．由正余弦定理，算出S_△BCF=，得V_C-BOD=S_△BCF×OD=，从而得到三棱锥A-BCD的体积V_A-BCD=2V_C-BOD=．
解答：∵球的表面积为4π
∴4πR²=4π，得球的半径R=1
设AB中点即球心为O．连接OC、OD，取OD中点F，连接BF、CF
∵OB=OD=BD=1，F为OD中点
∴△BDF是正三角形，BF⊥OD，且BF=
同理可得CF⊥OD，CF=
∵BF、CF是平面BCF内的相交直线
∴OD⊥平面BCF
△BCF中，cos∠BFC==-，所以sin∠BFC==
∴S_△BCF=BF•CFsin∠BFC=×××（）=
由此可得V_C-BOD=V_D-BCF+V_O-BCF=S_△BCF×OD=
∵△ABD中，OD是AB边上的中线
∴S_△ABD=2S_△0BD，得V_C-ABD=2V_C-BOD
∵V_C-BOD=，
∴三棱锥A-BCD的体积V_A-BCD=V_C-ABD=2V_C-BOD=2×=
故答案为：
点评：本题在球中给出内接四面体，求四面体的体积，着重考查了线面垂直的判定、球内接多面体和锥体体积公式等知识，属于中档题．