Question

1．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，2AC=AA₁，D，M分别是棱AA₁，BC的中点．证明：
（1）AM∥平面BDC₁
（2）DC₁⊥平面BDC．

Answer 1

分析 （1）取BC₁的中点N，连接DN，MN，证明DN∥AM，即可证明AM∥平面BDC₁；
（2）证明DC₁⊥BC，且DC₁⊥DC，即可证明DC₁⊥平面BDC．

解答 证明：（1）如图所示，
取BC₁的中点N，连接DN，MN．
则MN∥CC₁，且MN=$\frac{1}{2}$CC₁；
又AD∥CC₁，且AD=$\frac{1}{2}$CC₁，
∴AD∥MN，且AD=MN；
∴四边形ADNM为平行四边形，
∴DN∥AM；
又DN?平面BDC₁，AM?平面BDC₁，
∴AM∥平面BDC₁…（6分）
（2）由已知BC⊥CC₁，BC⊥AC，
又CC₁∩AC=C，
∴BC⊥平面ACC₁A₁，
又DC₁?平面ACC₁A₁，
∴DC₁⊥BC；
由已知得∠A₁DC₁=∠ADC=45°，
∴∠CDC₁=90°，
∴DC₁⊥DC；
又DC∩BC=C，
∴DC₁⊥平面BDC．…（12分）

点评 本题考查了空间中的平行与垂直的应用问题，也考查了空间想象能力与逻辑思维能力的应用问题，是基础题目．