Question

10．已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边．
（1）若△ABC面积${S_{△ABC}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，c=2，A=60°$，求a、b的值；
（2）若a=ccosB，且b=csinA，试判断△ABC的形状．
（3）当钝角△ABC的三边a，b，c是三个连续整数时，求△ABC外接圆的半径．

Answer 1

分析 （1）利用已知及三角形面积公式可求b的值，由余弦定理即可求得a的值．
（2）由余弦定理及勾股定理可得∠C=90°，又$b=c•\frac{a}{c}=a$，可得△ABC是等腰直角三角形．
（3）设△ABC的三边分别为n-1，n，n+1（n≥2，n∈Z），设∠C为钝角，由（n-1）²+n²＜（n+1）²⇒可解得0＜n＜4，讨论可得n=3，由正弦定理，余弦定理即可得解．

解答 解：（1）∵${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴$\frac{1}{2}b•2sin60°=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，得b=1
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=1²+2²-2×1×2•cos60°=3，
所以$a=\sqrt{3}$；
（2）由余弦定理得：$a=c•\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}⇒{a^2}+{b^2}={c^2}$，所以∠C=90°，
在Rt△ABC中，$sinA=\frac{a}{c}$，所以$b=c•\frac{a}{c}=a$，
所以△ABC是等腰直角三角形；
（3）设△ABC的三边分别为n-1，n，n+1（n≥2，n∈Z），∵△ABC是钝角三角形，不妨设∠C为钝角，
由（Ⅰ）得（n-1）²+n²＜（n+1）²⇒n²-4n＜0⇒0＜n＜4，∵n≥2，n∈Z，∴n=2，n=3，
当n=2时，不能构成三角形，舍去，
当n=3时，△ABC三边长分别为2，3，4，$cosC=\frac{{{2^2}+{3^2}-{4^2}}}{2×2×3}=-\frac{1}{4}⇒sinC=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，△ABC外接圆的半径$R=\frac{c}{2sinC}=\frac{4}{{2×\frac{{\sqrt{15}}}{4}}}=\frac{{8\sqrt{15}}}{15}$．

点评 本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理，勾股定理，不等式的解法及应用，属于基本知识的考查．