Question

2．设函数f（x）=e^x-x+3，{a_n}是公差为1且各项均为正数的等差数列．若f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）=$\frac{{{e^5}-{e^2}}}{e-1}$．其中e是自然对数的底数，则$\frac{{f（{a_1}）+f（{a_3}）}}{{f（{a_2}）}}$的值为（　　）

• A． $\frac{{{e^2}+1}}{e}$
• B． $\frac{{{e^2}+3}}{e+1}$
• C． $\frac{{{e^2}+5}}{e+2}$
• D． $\frac{{{e^2}+e+2}}{e+1}$

Answer 1

分析 {a_n}是公差为1且各项均为正数的等差数列，设a₂=a＞1，a₁=a-1，a₃=a+1，根据f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）=$\frac{{{e^5}-{e^2}}}{e-1}$求出a的值，即可求出$\frac{{f（{a_1}）+f（{a_3}）}}{{f（{a_2}）}}$的值..

解答 解：{a_n}是公差为1且各项均为正数的等差数列，
∴设a₂=a＞1，a₁=a-1，a₃=a+1，
∵f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）=$\frac{{{e^5}-{e^2}}}{e-1}$，
∴e^a-1-（a-1）+3+e^a-a+3+e^a+1-（a+1）+3=e^a-1+e^a+e^a+1-3a+9=$\frac{{{e^5}-{e^2}}}{e-1}$，
∴e^a+2-e^a-1+（9-3a）e+3a-9=e⁵-e²，
∴a=3，
∴f（a₁）+f（a₃）=f（2）+f（4）=e²-2+3+e⁴-4+3=e⁴+e²，
f（a₂）=f（3）=e³，
∴$\frac{{f（{a_1}）+f（{a_3}）}}{{f（{a_2}）}}$=$\frac{{e}^{4}+{e}^{2}}{{e}^{3}}$=$\frac{{e}^{2}+1}{e}$．
故选：A．

点评 本题考查等差数列，函数值的问题，关键是求出a的值，属于中档题．