Question

11．设a，b是不共线的两个向量，已知$\overrightarrow{AB}$=2a+kb，$\overrightarrow{BC}$=a+b，$\overrightarrow{CD}$=a-2b，若A、B、D三点共线，则k的值为-1．

Answer 1

分析 由题意可得向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{BD}$共线，存在实数λ，使$\overrightarrow{AB}=λ\overrightarrow{BD}$，即2$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$=$2λ\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}$，可得关于k，λ的方程组，进行求解即可．

解答 解：∵A，B，D三点共线，
∴向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{BD}$共线，故存在实数λ，使$\overrightarrow{AB}=λ\overrightarrow{BD}$，
由题意可得$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CD}$=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）+（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=$2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$，
即2$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$=λ（$2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）=$2λ\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}$，
故可得$\left\{\begin{array}{l}{2=2λ}\\{k=-λ}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=1}\\{k=-1}\end{array}\right.$，
故k=-1，
故答案为：-1

点评 本题考查向量的线性运算，涉及向量的共线定理，建立方程关系是解决本题的关键．