Question

6．已知命题p：对任意的x∈R，有2^x＜3^x；命题q：存在x∈R，使x³=1-x²，则下列命题中为真命题的是（　　）

• A． 非p且q
• B． p且q
• C． p且非q
• D． 非p且非q

Answer 1

分析 不等式2^x＜3^x等价于$（\frac{2}{3}）^{x}＜1$，显然该不等式不能恒成立，从而知道命题p为假命题，可令f（x）=x³+x²-1，容易判断该函数存在零点，从而得出存在x∈R，x³=1-x²成立，这便可判断命题q为真命题，这样便可根据p且q，非p，非q的真假和p，q真假的关系找出正确选项．

解答 解：由2^x＜3^x得：$（\frac{2}{3}）^{x}＜1$；
当x≤0时，$（\frac{2}{3}）^{x}≥1$，即$（\frac{2}{3}）^{x}＜1$不恒成立；
∴命题p为假命题；
令f（x）=x³+x²-1，则f（0）=-1，f（1）=1；
∴f（x）在（0，1）之间有零点；
即存在实数x∈R，使f（x）=0，即使x³=1-x²；
∴命题q为真命题；
∴非p为真命题，非p且q为真命题；
p且q为假命题；
非q为假命题，p且非q为假命题；
非p且非q为假命题；
∴A正确．
故选A．

点评 考查不等式的性质，指数函数的值域，熟悉指数函数的图象，真假命题的概念，以及函数零点和对应方程解的关系，判断函数是否存在零点的方法，p且q，非p的真假和p，q真假的关系．