Question

18．过点（-1，0）作抛物线y=x²+x+1的切线，切线方程为y=x+1或y=-3x-3．

Answer 1

分析 这类题首先判断某点是否在曲线上，（1）若在，直接利用导数的几何意义，求函数在此点处的斜率，利用点斜式求出直线方程（2）若不在，应首先利用曲线与切线的关系求出切点坐标，进而求出切线方程．此题属于第二种．

解答 解：y=x²+x+1的导数为y′=2x+1，
设切点坐标为（x₀，y₀），
则切线的斜率为k=2x₀+1，
且y₀=x₀²+x₀+1
于是切线方程为y-x₀²-x₀-1=（2x₀+1）（x-x₀），
因为点（-1，0）在切线上，
即有-x₀²-x₀-1=（2x₀+1）（-1-x₀），
可解得x₀=0或-2，
当x₀=0时，y₀=1；x₀=-2时，y₀=3，
可得切线方程为y=x+1或y=-3x-3．
故答案为：y=x+1或y=-3x-3．

点评 函数y=f（x）在x=x₀处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x₀，y₀）处的切线的斜率，在点P处的切线方程为：y-y₀=f′（x₀）（x-x₀），注意确定切点是解题的关键．