Question

16．设$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$为一组基底，$\overrightarrow{OA}$=-2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{OB}$=m$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{OC}$=n$\overrightarrow{{e}_{1}}$，如果A、B、C三点共线，则$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据三点共线的条件，建立方程$\overrightarrow{AB}$=t$\overrightarrow{AB}$，利用向量共线的基本定理进行求解即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}$=-2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{OB}$=m$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{OC}$=n$\overrightarrow{{e}_{1}}$，
∴$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$=m$\overrightarrow{{e}_{2}}$-（-2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+（m+2）$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$=n$\overrightarrow{{e}_{1}}$-（-2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=（2+n）$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
若A、B、C三点共线，
则存在一个常数t，
有$\overrightarrow{AB}$=t$\overrightarrow{AC}$，
即2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+（m+2）$\overrightarrow{{e}_{2}}$=t（（2+n）$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$），
则$\left\{\begin{array}{l}{2=（2+n）t}\\{m+2=2t}\end{array}\right.$，消去参数t得4t=（n+2）（m+2）t，
即4=（n+2）（m+2），
则mn+2（m+n）=0，
则mn=-2（m+n），
即1=-2（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$），
则$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=-$\frac{1}{2}$，
故答案为：-$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查三点共线的应用，结合向量共线的基本定理建立方程关系是解决本题的关键．