Question

5．设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，其中$\overrightarrow{a}$=（cos2x，2sin（$\frac{π}{4}$+x）），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$，-sin（$\frac{π}{4}$+x）），x∈R．
（1）求函数的单调增区间；
（2）求实数m为何值时，关于x的方程：f（x）+m+2=0在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上有一解，两解？

Answer 1

分析 （1）运用向量的数量积的坐标表示，结合二倍角公式和两角和的余弦公式，运用余弦函数的增区间，解不等式即可得到所求；
（2）求得f（x）在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上的单调性和值域，结合条件，解m的不等式，即可得到m的范围．

解答 解：（1）由题意可得，f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}$cos2x-2sin²（x+$\frac{π}{4}$）
=$\sqrt{3}$cos2x-（1-cos（2x+$\frac{π}{2}$））=$\sqrt{3}$cos2x-sin2x-1
=2cos（2x+$\frac{π}{6}$）-1，
由2kπ-π≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ，
解得kπ-$\frac{7π}{12}$≤x≤kπ-$\frac{π}{12}$，k∈Z，
即有函数的单调递增区间为[kπ-$\frac{7π}{12}$，kπ-$\frac{π}{12}$]，k∈Z；
（2）由x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，可得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，
即有cos（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，-$\frac{1}{2}$]，
即有f（x）的值域为[-3，-2]，
且f（x）在[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{12}$]递减，在[$\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{2}$]递增，
则当-m-2=-3和-$\sqrt{3}$-1＜-m-2≤-2，
即m=1和0≤m＜$\sqrt{3}$-1时，f（x）+m+2=0有一解，
当-3＜-m-2≤-1-$\sqrt{3}$即$\sqrt{3}$-1≤m＜1时，
f（x）+m+2=0有两解．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示，二倍角公式和两角和的余弦公式，及余弦函数的单调区间，同时考查余弦函数的图象和性质，注意函数和方程的转化思想的运用，属于中档题．