Question

17．关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x＞0}\\{{2x}^{2}+（2k+5）x+5k＜0}\end{array}\right.$的整数解的集合为{-2，-1}，则实数k的取值范围为-3≤k＜1．

Answer 1

分析 首先分析题目已知不等式组的整数解集为{-2，-1}，求k的取值范围，考虑到通过分解因式的方法化简方程组，然后分类讨论当k＞$\frac{5}{2}$时，k=$\frac{5}{2}$时和当k＜$\frac{5}{2}$时的情况解出不等式组含有参数k的解集，然后根据整数解集为{-2，-1}，判断k的取值范围即可．

解答 解：关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-2x＞0\\{2x}^{2}+（2k+5）x+5k＜0\end{array}\right.$，变形为$\left\{\begin{array}{l}x（x-2）＞0\\（x+k）（2x+5）＜0\end{array}\right.$
当k＞$\frac{5}{2}$时：
原不等式组变形为：$\left\{\begin{array}{l}x＜0，或x＞2\\-k＜x＜-\frac{5}{2}\end{array}\right.$，
故方程解为-k＜x＜-$\frac{5}{2}$，不满足整数解集为{-2，-1}，故不成立．
当k=$\frac{5}{2}$时：原不等式组无解；
当k＜$\frac{5}{2}$时：
原方程变形为 $\left\{\begin{array}{l}x＜0，或x＞2\\-\frac{5}{2}＜x＜-k\end{array}\right.$，
因为方程整数解集为{-2，-1}，故-k＞-1，且-k≤3．
故-3≤k＜1，
故答案为：-3≤k＜1

点评 此题主要考查一元二次不等式组的解集的问题，题中应用到分类讨论的思想，在解不等式中经常用到．题目涵盖知识点少但有一点的计算量，属于中档题目．