Question

9．若函数f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1．
（1）求函数f（x）的对称轴和单调递增区间；
（2）若x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的对称性和得到性进行求解即可．
（2）由x的范围求得2x-$\frac{π}{6}$的范围，利用正弦函数的单调性求得值域．

解答 解：（1）在函数$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{6}）$+1，x∈R中，
令 2x-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，可得
x=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}$，故函数f（x）的对称轴方程为 x=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}$，k∈z．
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，
解得 kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，
故增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈z．
（2）由于-$\frac{π}{12}$≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴-$\frac{π}{3}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，
故当x=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）的最大值为2+1=3，
故当x=-$\frac{π}{3}$ 时，函数f（x）的最小值为2×（$-\frac{\sqrt{3}}{2}$）+1=1-$\sqrt{3}$．
则函数的值域为[1-$\sqrt{3}$，3]．

点评 本题考查正弦函数的对称性、单调性值域，掌握正弦函数的图象性质，是解题的关键．