Question

19．下列4个命题：
①?x∈R，x²-x+1≤0；
②已知随机变量X服从正态分布N（3，σ²），P（X≤6）=0.72，则P（X≤0）=0.28；
③函数f（x）=alog₂|x|+x+b为奇函数的充要条件是a+b=0；
④已知$\overrightarrow{a}$是单位向量，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{e}$|=|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{e}$|，则$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{e}$方向上的投影为$\frac{1}{2}$，
其中正确命题的序号是②④．

Answer 1

分析 ①根据含量词的命题的否定对①进行判断；
②由于随机变量X服从正态分布N（3，σ²），P（X≤6）=0.72，利用对称性可得P（X≤0）=P（X＞6）
=1-0.72=0.28；
③通过举反例对③进行判断；
④根据向量投影的概念，$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{e}$方向上的投影为$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}}{|\overrightarrow{e}|}$，即可得出结论．

解答 解：①∵x²-x+1=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$≥$\frac{3}{4}$，因此不存在x∈R，x²-x+1≤0，不正确；
②∵随机变量X服从正态分布N（3，σ²），P（X≤6）=0.72，∴P（X≤0）=P（X≥6）=1-0.72=0.28，正确；
③当a=1，b=-1时，虽然有a+b=0，但f（x）不是奇函数，故③错；
④将|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{e}$|=|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{e}$|，两边平方整理化简得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$=$\frac{1}{2}$，则$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{e}$方向上的投影为$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}}{|\overrightarrow{e}|}$=$\frac{1}{2}$，正确．
故答案为：②④．

点评 本题中考查了二次函数的单调性、正态分布的性质、奇函数、向量投影的计算，考查了推理能力和计算能力，属于难题．