Question

14．已知a为正实数，函数f（x）=ax²-a²x-$\frac{1}{a}$的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．
（1）解关于x不等式f（x）＞f（1）；
（2）求AB的最小值；
（3）证明△ABC为直角三角形．

Answer 1

分析 （1）不等式f（x）＞f（1）可化为：ax²-a²x+a²-a＞0（a＞0）；对a值进行分类讨论，可得不等式的解集；
（2）由函数f（x）=ax²-a²x-$\frac{1}{a}$的图象与x轴交于A，B两点，可得AB=$\frac{\sqrt{△}}{\left|a\right|}$=$\frac{\sqrt{{a}^{4}+4}}{a}$，利用基本不等式可得AB的最小值；
（3）利用向量法，证明出$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BC}$，可得：△ABC为直角三角形．

解答 解：（1）不等式f（x）＞f（1）可化为：ax²-a²x-$\frac{1}{a}$＞a-a²（a＞0），
即ax²-a²x+a²-a＞0（a＞0）；
解ax²-a²x+a²-a=0得x=1，或x=a-1，
∴a≥2时，不等式的解集为（-∞，1）∪（a-1，+∞）；
a＜2时，不等式的解集为（-∞，a-1）∪（1，+∞）；
（2）∵函数f（x）=ax²-a²x-$\frac{1}{a}$的图象与x轴交于A，B两点，
∴AB=$\frac{\sqrt{△}}{\left|a\right|}$=$\frac{\sqrt{{a}^{4}+4}}{a}$=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{4}{{a}^{2}}}$≥$\sqrt{2\sqrt{{a}^{2}•\frac{4}{{a}^{2}}}}$=2，
当且仅当${a}^{2}=\frac{4}{{a}^{2}}$，即a=$\sqrt{2}$时取等号，
故AB的最小值为2；
证明：（3）∵函数f（x）=ax²-a²x-$\frac{1}{a}$的图象与x轴交于A，B两点，
故A，B两点坐标为（$\frac{{a}^{2}±\sqrt{{a}^{4}+4}}{2a}$，0），
∵函数f（x）=ax²-a²x-$\frac{1}{a}$的图象与y轴交于C点．
故C点坐标为（0，-$\frac{1}{a}$），
故$\overrightarrow{AC}$=（-$\frac{{a}^{2}-\sqrt{{a}^{4}+4}}{2a}$，-$\frac{1}{a}$），$\overrightarrow{BC}$=（-$\frac{{a}^{2}+\sqrt{{a}^{4}+4}}{2a}$，-$\frac{1}{a}$），
∵$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=（-$\frac{{a}^{2}-\sqrt{{a}^{4}+4}}{2a}$）×（-$\frac{{a}^{2}+\sqrt{{a}^{4}+4}}{2a}$）+（-$\frac{1}{a}$）²=0，
故$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BC}$，
即△ABC为直角三角形．

点评 本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，二次函数，基本不等式，判断三角形的形状，综合性强，属于难题．