Question

1．已知a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$，猜想a_n=$\frac{3}{n+5}$．

Answer 1

分析 通过计算出前几项的值可知分子均为3、分母成公差为1的等差数列，进而可得结论．

解答 解：∵a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$，
∴a₂=$\frac{3{a}_{1}}{{a}_{1}+3}$=$\frac{3•\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+3}$=$\frac{3}{7}$，
a₃=$\frac{3{a}_{2}}{{a}_{2}+3}$=$\frac{3•\frac{3}{7}}{\frac{3}{7}+3}$=$\frac{3}{8}$，
a₄=$\frac{3{a}_{3}}{{a}_{3}+3}$=$\frac{3•\frac{3}{8}}{\frac{3}{8}+3}$=$\frac{3}{9}$，
a₅=$\frac{3{a}_{4}}{{a}_{4}+3}$=$\frac{3•\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}+3}$=$\frac{3}{10}$，
a₆=$\frac{3{a}_{5}}{{a}_{5}+3}$=$\frac{3•\frac{3}{10}}{\frac{3}{10}+3}$=$\frac{3}{11}$，
猜测：a_n=$\frac{3}{n+5}$，
故答案为：$\frac{3}{n+5}$．

点评 本题考查数列的通项，找出规律是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．注：本题还可以通过取倒数、构造等差数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}来计算．