Question

12．已知关于x不等式：ax²+（a-1）x-1≥0
（1）当a=2时，求不等式的解集；
（2）当a∈R时，求不等式的解集．

Answer 1

分析 （1）a=2时，不等式化为2x²+x-1≥0，求出解集即可；
（2）a∈R时，讨论a=0、a＞0以及a＜0时，不等式的解集是什么，求出解集即可．

解答 解：（1）当a=2时，原不等式化为2x²+x-1≥0，
即（x+1）（2x-1）≥0，
解得x≤-1，或x≥$\frac{1}{2}$，
∴不等式的解集为{x|x≤-1，或x≥$\frac{1}{2}$}；
（2）当a∈R时，若a=0时，则不等式化为-x-1≥0，解得x≤-1；
若a≠0，则方程ax²+（a-1）x-1=0可化为（ax-1）（x+1）=0，
解得x=-1或x=$\frac{1}{a}$；
①当a＞0时，$\frac{1}{a}$＞0＞-1，原不等式化为（x-$\frac{1}{a}$）（x+1）≥0，
∴其解集为{x|x≥$\frac{1}{a}$或x≤-1}；
②当-1＜a＜0时，$\frac{1}{a}$＜-1，原不等式化为（x-$\frac{1}{a}$）（x+1）≤0，
∴其解集为{x|$\frac{1}{a}$≤x≤-1}；
③当a=-1时，$\frac{1}{a}$=-1，原不等式化为（x+1）²≤0，
其解集为{x|x=-1}；
④当a＜-1时，$\frac{1}{a}$＞-1，原不等式为（x-$\frac{1}{a}$）（x+1）≤0，
其解集为{x|-1≤x≤$\frac{1}{a}$}；
综上，a=0时，不等式的解集为{x|x≤-1}；
a＞0时，不等式的解集为{x|x≥$\frac{1}{a}$或x≤-1}；
-1＜a＜0时，不等式的解集为{x|$\frac{1}{a}$≤x≤-1}；
a=-1时，不等式的解集为{x|x=-1}；
a＜-1时，不等式的解集为{x|-1≤x≤$\frac{1}{a}$}．

点评 本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了用分类讨论的思想求含有字母系数的一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．