Question

2．如果对定义在R上的函数f（x），以任意两个不相等的实数x₁，x₂，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁），则称函数f（x）为“H函数”．给出下列函数：
①y=-x³+x+1；   
②y=3x-2（sin x-cos x）；
③y=e^x+1；        
④f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln|x|，x≠0}\\{0，x=0}\end{array}\right.$
以上函数是“H函数”的所有序号为②③．

Answer 1

分析 不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）等价为（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．

解答 解：∵对于任意给定的不等实数x₁，x₂，
不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）恒成立，
∴不等式等价为（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0恒成立，
即函数f（x）是定义在R上的增函数．
对于①y=-x³+x+1；y′=-3x²+1，则函数在定义域上不单调；
对于②y=3x-2（sinx-cosx）；y′=3-2（cosx+sinx）=3-2$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）＞0，
函数单调递增，满足条件；
对于③y=e^x+1为增函数，满足条件；
④f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln|x|，x≠0}\\{0，x=0}\end{array}\right.$，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．
综上满足“H函数”的函数为②③，
故答案为：②③．

点评 本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．