Question

6．已知函数f（x）=Asin（$\frac{π}{3}$x+φ），（A＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$），y=f（x）的部分图象如图所示，P，Q分别为该图象上相邻的最高点和最低点，点P在x轴上的射影为R（1，0），cos∠PRQ=-$\frac{4}{5}$
（1）求A，φ的值；
（2）将函数f（x）的图象上所有的点向右平移θ（θ＞0）个单位，得到函数g（x）的图象，若g（x）在区间[0，3]上单调递增，求θ的最小值
（3）求函数f（x）的单调增区间及对称中心．

Answer 1

分析 （1）由五点法作图求出φ的值，求出φ，再利用勾股定理、余弦定理求得A的值．
（2）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得θ的最小值．
（3）由条件利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调区间，再利用正弦函数的图象的对称性求得函数f（x）的图象的对称中心．

解答 解：（1）由题意结合五点法作图可得1×$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$，求得φ=$\frac{π}{6}$．
再根据PR=A，RQ²=${（\frac{T}{2}）}^{2}$+A²=${（\frac{π}{\frac{π}{3}}）}^{2}$+A²=9+A²，PQ²=（2A）²+${（\frac{T}{2}）}^{2}$=4A²+9．
再根据余弦定理可得 PQ²=PR²+RQ²-2PR•RQ•cos∠PRQ，
∴4A²+9=A²+9+A²-2A•$\sqrt{{9+A}^{2}}$•（-$\frac{4}{5}$），求得A=4，∴f（x）=4sin（$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{6}$）．
（2）将函数f（x）=4sin（$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{6}$）的图象上所有的点向右平移θ（θ＞0）个单位，
得到函数g（x）=4sin[$\frac{π}{3}$（x-θ）+$\frac{π}{6}$]=4sin（$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{3}θ$）的图象，
若g（x）在区间[0，3]上单调递增，则$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{3}$θ≥-$\frac{π}{2}$ 且π+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{3}$θ≤$\frac{π}{2}$，求得θ=2．
（3）对于函数f（x）=4sin（$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{6}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
求得6k-2≤x≤6k+1，故函数f（x）的单调增区间为[6k-2，6k+1]，k∈Z．
同理，求得函数f（x）的单调减区间为[6k+1，6k+4]，k∈Z．
令 $\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{6}$≤kπ，求得x=3k-$\frac{1}{2}$，可得函数f（x）的图象的对称中心为（3k-$\frac{1}{2}$，0），k∈Z．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，余弦定理，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性以及它的图象的对称性，属于中档题．