Question

19．在△ABC中，已知$\overrightarrow{AB}=（{1，\sqrt{3}}），\overrightarrow{BC}=（{cosA，sinA}）$，且$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=-\sqrt{3}$，
（1）求角A；  
（2）求边AC的长．

Answer 1

分析 （1）由已知向量的坐标以及数量积得到关于A的等式解之；
（2）由（1）求出cosB，结合余弦定理求AC．

解答 解：（1）由已知$\overrightarrow{AB}=（{1，\sqrt{3}}），\overrightarrow{BC}=（{cosA，sinA}）$，且$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=\sqrt{3}$＞0，
所以得到cosA+$\sqrt{3}$sinA=$\sqrt{3}$，所以sin（A+30°）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，30°＜A+30°＜150°，所以A=30°；
（2）由（1）得cosB=-$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以B=30°，
所以AC²=AB²+BC²-2AB×BCcosB=4+1-4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=5-2$\sqrt{3}$，所以AC=$\sqrt{5-2\sqrt{3}}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积的坐标运算与三角函数相结合的问题；注意三角形两边对应向量的夹角与内角的关系．