Question

1．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，最小正周期是2π，其图象经过点M（0，1）．
（1）求f（x）的解析式；且当x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]时f（x）的取值范围
（2）设A、B、C为△ABC的三个内角，且f（A）=$\frac{3}{5}$，f（B）=$\frac{5}{13}$，求f（C）的值．

Answer 1

分析 （1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标法作图求出φ的值，可得函数的解析式．再利用正弦函数的定义域和值域，求得当x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]时f（x）的取值范围．
（2）由条件求得可得cosA 和cosB 的值，可得sinA和sinB的值，从而求得f（C）=sinC=sin（A+B）的值．

解答 解：（1）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，最小正周期是2π，
可得A=1，$\frac{2π}{ω}$=2π，∴ω=1．
再根据图象经过点M（0，1），可得sinφ=1，∴φ=$\frac{π}{2}$，∴函数f（x）=sin（x+$\frac{π}{2}$）=cosx．
当x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]时，cosx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，故（x）的取值范围为[-$\frac{1}{2}$，1]．
（2）设A、B、C为△ABC的三个内角，由f（A）=$\frac{3}{5}$，f（B）=$\frac{5}{13}$，可得cosA=$\frac{3}{5}$，cosB=$\frac{5}{13}$，
∴sinA=$\frac{4}{5}$，sinB=$\frac{12}{13}$，∴f（C）=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{4}{5}×\frac{5}{13}$+$\frac{3}{5}×\frac{12}{13}$=$\frac{56}{65}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的定义域和值域，同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和的正弦公式的应用，属于基础题．