Question

21、已知|

EF

|=2c，|

EF

|=2a（a＞c），2

EH

=

EG

，2

EO

=

EF

，

HP

•

EG

=0（G为动点） （a＞c）．
（1）建立适当的平面直角坐标系，求出点P的轨迹方程；
（2）若点P的轨迹上存在两个不同的点A、B，且线段AB的中垂线与EF（或EF的延长线）有唯一的交点C，证明：|

OC

|＜

c2

a

．

Answer 1

分析：（1）根据向量式转化成：|PE|+|PF|=|PG|+|PF|=|FG|=2a（＞|EF|），结合椭圆的定义得点P的轨迹为椭圆，最后写出轨迹方程即可；
（2）先设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．A，B的中点M（x₀，y₀），C（t，0）．分类讨论：①当k_CM不存在时，显然成立．
②当k_CM存在时，利用“点差法”得直线AB的斜率，再结合题中条件：“k_AB•k_CM=-1．”即可证得结论．

解答：解：（1）|PE|+|PF|=|PG|+|PF|=|FG|=2a（＞|EF|），∴点P的轨迹为椭圆
∴轨迹方程为

x2

a2

+

y2

a2-c2

=1
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．A，B的中点M（x₀，y₀），C（t，0）．
当k_CM不存在时，显然成立．
当k_CM存在时，k_CM=

y0

x0-t

．由“点差法”得：kAB=-

a2-c2

a2

•

x0

y0

∵k_AB•k_CM=-1.x0=

a2-t

c2

∵|x0|＜a∴|

a2-t

c2

|＜a∴|t|＜

c2

a

即|

OC

|＜

c2

a

．

点评：本小题主要考查椭圆的应用、轨迹方程、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，解答的关键是利用设而不求的方法：“点差法”．