Question

设函数.

（1）若函数在处有极值，求函数的最大值；

（2）是否存在实数，使得关于的不等式在上恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；

（3）记，证明：不等式．

Answer 1

（1）0，（2）（3）证明见解析

【解析】

试题分析：（1）解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.（2）有关的探索问题：第一步：假设符合条件的结论存在；第二步：从假设出发，利用题中关系求解；第三步，确定符合要求的结论存在或不存在；第四步：给出明确结果；第五步：反思回顾，查看关键点.（3）不等式具有放缩功能，常常用于证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好切入点.

试题解析：（1）由已知得：

，

且函数在处有极值

∴，

即

∴

∴

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

∴函数的最大值为

（2）由已知得：

1.若，则时，

∴在上为减函数，

∴在上恒成立；

2.若，则时，

∴在上为增函数，

∴，不能使在上恒成立；

3.若，则时，，

当时，，∴在上为增函数，

此时，

∴不能使在上恒成立；

综上所述，的取值范围是

（3） 由（1）、（2）得：

取得：

令，

则，.

因此.

又，

故

因此.

又，

故

考点：（1）导数与最值（2）求参数取值范围（3）证明不等式.