Question

1．物理学家和数学家牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型，如果物体的初始温度为θ₁℃，空气温度为θ₀℃，则tmin后物体的温度f（t）满足：f（t）=θ₀+（θ₁-θ₀）•e^-kt（其中k为正的常数，e=2.71828…为自然对数的底数），现有65℃的物体，放在15℃的空气中冷却，5min以后物体的温度是45℃．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求从开始冷却，经过多少时间物体的温度是25.8℃？
（Ⅲ）运用上面的数据，作出函数f（t）的图象的草图．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过将θ₁=65，θ₀=15，当t=5时，θ=45代入公式计算可知k的值；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的函数的表达式进行求解即可．
（Ⅲ）根据指数函数的图象和性质进行作图即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知，θ₁=65，θ₀=15，当t=5时，θ=45，
于是e^-5k=$\frac{3}{5}$
化简得：-5k=ln$\frac{3}{5}$，即k=$\frac{1}{5}$ln$\frac{5}{3}$；
（Ⅱ）由（I）可知f（t）=15+50e^-kt，（其中k=$\frac{1}{5}$ln$\frac{5}{3}$），
∴由25.8=15+50e^-kt，得e^-kt=$\frac{27}{125}$，
结合k=$\frac{1}{5}$ln$\frac{5}{3}$，得（$\frac{3}{5}$）e${\;}^{\frac{t}{5}}$^t=$\frac{27}{125}$，得t=15．
∴从开始冷却，经过15min物体的温度是25.8°．

（Ⅲ）由f（t）=15+50e^-kt，（其中k=$\frac{1}{5}$ln$\frac{5}{3}$），
知函数的图象如图：
图象在第一象限内，过点（0，65），在[0，+∞）上是减函数，y=15是渐近线．

点评 本题考查函数模型的选择与应用，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，考查学生的计算能力．