Question

19．设y=（a+b）¹⁰．
（1）若$a=\root{3}{x}$，$b=-\frac{1}{{2\root{3}{x}}}$，求y=（a+b）¹⁰的展开式中含x²项的系数；
（2）若a=1，b=i （i为虚单位），求${（\frac{y}{32}）^{2011}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用二项展开式的通项公式，求得y=（a+b）¹⁰的展开式中含x²项的系数．
（2）利用复数代数形式的混合运算法则求得y的值，可得${（\frac{y}{32}）^{2011}}$的值．

解答 解：（1）由 $a=\root{3}{x}$，$b=-\frac{1}{{2\root{3}{x}}}$，可得y=（a+b）¹⁰ =${（\root{3}{x}-\frac{1}{{2\root{3}{x}}}）^{10}}$展开式中的${T_{k+1}}=C_{10}^k{（\root{3}{x}）^{10-k}}{（-\frac{1}{{2\root{3}{x}}}）^k}$=$C_{10}^k{（-\frac{1}{2}）^k}{x^{\frac{10-2k}{3}}}$．
设${（\root{3}{x}-\frac{1}{{2\root{3}{x}}}）^{10}}$展开式中的T_k+1含x²，则$\frac{10-2k}{3}=2$，解得k=2．
∴展开式中的含x²项的系数为$C_{10}^2{（-\frac{1}{2}）^2}=\frac{45}{4}$．
（2）y=（a+b）¹⁰=（1+i）¹⁰=[（1+i）²]⁵=（2i）⁵=32i，
∴${（\frac{y}{32}）^{2011}}={（\frac{32i}{32}）^{2011}}={i^{2011}}={i^{4×504+3}}={i^3}=-i$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，复数代数形式的混合运算，属于基础题．