Question

9．已知奇函数f（x）=$\frac{m-g（x）}{1+g（x）}$的定义域为R，其中g（x）为指数函数且过点（2，9）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性，并用函数单调性定义证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设g（x）=a^x，由g（x）的图象过点（2，9），求得a=3，可得g（x）的解析式．再根据f（0）=0，求得m的值，可得 f（x）的解析式．
（Ⅱ）根据 f（x）=$\frac{2}{{1+3}^{x}}$-1，设x₁＜x₂，则 0＜${3}^{{x}_{1}}$＜${3}^{{x}_{2}}$，根据f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2{（3}^{{x}_{2}}{-3}^{{x}_{1}}）}{（1{+3}^{{x}_{1}}）（1{+3}^{{x}_{2}}）}$＞0，从而根据函数的单调性的定义得出结论．

解答 解：（Ⅰ）设g（x）=a^x，由g（x）的图象过点（2，9），可得a²=9，∴a=3，g（x）=3^x．
故函数f（x）=$\frac{m-g（x）}{1+g（x）}$=$\frac{m{-3}^{x}}{1{+3}^{x}}$．
再根据f（x）为奇函数，可得f（0）=$\frac{m-g（0）}{1+g（0）}$=$\frac{m-1}{1+1}$=0，∴m=g（0）=1，即 f（x）=$\frac{1{-3}^{x}}{1{+3}^{x}}$．
（Ⅱ）∵f（x）=$\frac{1{-3}^{x}}{1{+3}^{x}}$=$\frac{2-（1{+3}^{x}）}{1{+3}^{x}}$=$\frac{2}{{1+3}^{x}}$-1，．
设x₁＜x₂，则 0＜${3}^{{x}_{1}}$＜${3}^{{x}_{2}}$，
由于f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{1{+3}^{{x}_{1}}}$-$\frac{2}{{1+3}^{{x}_{2}}}$=$\frac{2{（3}^{{x}_{2}}{-3}^{{x}_{1}}）}{（1{+3}^{{x}_{1}}）（1{+3}^{{x}_{2}}）}$，结合0＜${3}^{{x}_{1}}$＜${3}^{{x}_{2}}$，可得2（${3}^{{x}_{2}}$-${3}^{{x}_{1}}$）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），故f（x）在R上单调递减．

点评 本题主要考查指数函数的综合应用，函数的奇偶性的性质，利用函数的单调性的定义证明函数的单调性，属于中档题．