Question

11．已知θ为第二象限角，sin（π-θ）=$\frac{24}{25}$，则cos$\frac{θ}{2}$的值为$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 由条件可得$\frac{θ}{2}$是第一或第三象限角，再根据sin（π-θ）=sinθ=$\frac{24}{25}$，可得$\frac{θ}{2}$是第一象限角，求得cosθ 的值，利用半角的余弦公式可得cos$\frac{θ}{2}$的值．

解答 解：∵θ为第二象限角，∴2kπ+$\frac{π}{2}$θ＜2kπ+π，k∈Z，
∴kπ+$\frac{π}{4}$＜$\frac{θ}{2}$＜kπ+$\frac{π}{2}$，故$\frac{θ}{2}$是第一或第三象限角．
∵sin（π-θ）=sinθ=2sin$\frac{θ}{2}$cos$\frac{θ}{2}$=$\frac{24}{25}$，∴故$\frac{θ}{2}$是第一象限角，
∴cosθ=-$\sqrt{{1-sin}^{2}θ}$=-$\frac{7}{25}$，cos$\frac{θ}{2}$=$\sqrt{\frac{1+cosθ}{2}}$=$\sqrt{\frac{1-\frac{7}{25}}{2}}$=$\frac{3}{5}$，
故答案为：$\frac{3}{5}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，半角的余弦公式的应用，属于基础题．