Question

若两曲线在交点P处的切线互相垂直，则称呼两曲线在点P处正交．设椭圆

x2

4

+

y2

b2

=1（0＜b＜2）与双曲线

x2

2

-y²=1在交点处正交，则椭圆

x2

4

+

y2

b2

=1的离心率为（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  2

  2

• C、

  3

  2

• D、

  3

  -1

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出椭圆

x2

4

+

y2

b2

=1（0＜b＜2）与双曲线

x2

2

-y²=1的交点P（x₀，y₀），椭圆

x2

4

+

y2

b2

=1在点P处的切线斜率k1=-

x0b

4y0

，双曲线

x2

2

-y2=1在点P处的切线斜率k2=

x0

2y0

，由此利用椭圆

x2

4

+

y2

b2

=1（0＜b＜2）与双曲线

x2

2

-y²=1在交点处正交，能求出椭圆

x2

4

+

y2

b2

=1的离心率．

解答： 解：设椭圆

x2

4

+

y2

b2

=1（0＜b＜2）与双曲线

x2

2

-y²=1的交点P（x₀，y₀），
解方程组

x2 4 + y2 b =1 x2 2 -y2=1

，得

x02= 4b2+4 b2+2 y02= b2 b2+2

，
椭圆

x2

4

+

y2

b2

=1在点P处的切线方程为：

x0x

4

+

y0y

b2

=1，斜率k1=-

x0b

4y0

，
双曲线

x2

2

-y2=1在点P处的切线方程为：

x0x

2

-y0y=1，斜率k2=

x0

2y0

，
∵椭圆

x2

4

+

y2

b2

=1（0＜b＜2）与双曲线

x2

2

-y²=1在交点处正交，
∴k₁k₂=-

x0b

4y0

•

x0

2y0

=-1，
∴bx 02=8y 02，∴b（

4b2+4

b2+2

）=8（

b2

b2+2

），解得b=1，
∴椭圆

x2

4

+

y2

b2

=1的离心率e=

c

a

=

4-1

2

=

3

2

．
故选：C．

点评：本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线方程的灵活运用．