Question

如果关于x的方程ax+

1

x2

=3在区间（0，+∞）上有且仅有一个解，那么实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：由函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），故我们可将关于x的方程 ax+

1

x2

=3有且仅有一个正实数解，转化为方程
a=-

1

x3

+

3

x

有且仅有一个正实数解，讨论出函数的单调性后，同一坐标系内作出图象，即可得到本题的答案．

解答：解：由函数解析式可得：x≠0，如果关于x的方程 ax+

1

x2

=3有且仅有一个正实数解，
即方程ax³-3x²+1=0有且仅有一个正实数解，
即方程a=-

1

x3

+

3

x

有且仅有一个正实数解
讨论函数y=-

1

x3

+

3

x

的单调性，得（0，1）上函数为增函数，（1，+∞）上函数为减函数且函数值大于0
作出函数y=-

1

x3

+

3

x

的图象与直线y=a，如图所示

根据图象可得：当a≤0或a=2时在（0，+∞）上有且仅有一个交点．
故答案为：a≤0或a=2

点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据函数的定义域，将分式方程根的个数问题转化为整式方程根的个数问题是解答本题的关键．