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如果关于x的方程ax+
1
x2
=3
有且仅有一个正实数解,则实数a的取值范围是(  )
A、(-∞,0)
B、{a|a≤0或a=2}
C、(0,+∞)
D、{a|a≥0或a=-2}
分析:先将“ax+
1
x2
=3
有且仅有一个正数解”转化为“f(x)=ax3-3x2+1的图象与x正半轴有且仅有一个交点”,然后对函数f(x)进行求导,根据导数的正负判断函数的单调性并求出极小值,进而求解即可.
解答:解:∵x≠0,
所以ax+
1
x2
=3与ax3-3x2+1=0的解完全相同(易知0不是后一个方程的解)
令f(x)=ax3-3x2+1
则“ax+
1
x2
=3
有且仅有一个正数解”与“f(x)的图象与x正半轴有且仅有一个交点”等价.
∵f'(x)=3x(ax-2)
当a=0时,代入原方程知此时仅有一个正数解
3
3

当a>0时,令f'(x)>0,f'(x)<0,
得f(x)在(-∞,0)和(
2
a
,+∞)上单调递增,在(0,
2
a
)上单调递减,
f(0)=1,知若要满足条件只有x=
2
a
时f(x)取到极小值0.
x=
2
a
代入原方程得到正数解a=2;
当a<0时,同理f(x)在(-∞,
2
a
)和(0,+∞)上单调递增,在(
2
a
,0)上单调递减,
f(0)=1>0,所以此时不存在满足条件的a
故实数a的取值范围是(0,+∞)
故选C.
点评:本题主要考查根的存在性和区间的判定、根据导数的正负判断函数的单调性问题.考查基础知识的综合运用.
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1x2
=3
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(2008•武汉模拟)如果关于x的方程ax+
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