Question

如果关于x的方程ax+

1

x2

=3有且仅有一个正实数解，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），故我们可将关于x的方程ax+

1

x2

=3有且仅有一个正实数解，转化为方程ax³-3x²+1=0有且仅有一个正实数解，求出函数的导函数后，分类讨论函数的单调性，即可得到答案．

解答：解：由函数解析式可得：x≠0，如果关于x的方程ax+

1

x2

=3有且仅有一个正实数解，
即方程ax³-3x²+1=0有且仅有一个正实数解，
构造函数f（x）=ax³-3x²+1
则函数f（x）的图象与x正半轴有且仅有一个交点．
又∵f'（x）=3x（ax-2）
当a=0时，代入原方程知此时仅有一个正数解

3

3

，满足要求；
当a＞0时，则得f（x）在（-∞，0）和（

2

a

，+∞）上单调递增，在（0，

2

a

）上单调递减，
f（0）=1，知若要满足条件只有x=

2

a

时，f（x）取到极小值0，
x=

2

a

代入原方程得到正数解a=2，满足要求；
当a＜0时，ax³=3x²-1，函数y=ax³  与y=3x²-1在x＞0时只有一个交点，满足题意，
综上：a≤0或a=2．
故答案为：a≤0或2

点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据函数的定义域，将分式方程根的个数问题转化为整式方程根的个数问题是解答本题的关键．