Question

已知函数f(x)=

4-x2(x＞0) 2(x=0) 1-2x(x＜0)

，
（1）求f（a²+1）（a∈R），f（f（3））的值；
（2）当-4≤x＜3时，求f（x）取值的集合．

Answer 1

分析：（1）已知分段函数解析式，注意a²+1＞1，代入f（x）=4-x²，同理求出f（3），再把f（3）看为一个整体，再进行代入求解；
（2）当-4≤x＜3时，把x=0作为分界点，利用分类讨论的思想进行求解；

解答：解：（1）函数f(x)=

4-x2(x＞0) 2(x=0) 1-2x(x＜0)

，
∵a²+1＞0
∴f（a²+1）=4-（a²+1）²=-a⁴-2a²+3，
f（3）=4-3²=-5，
∴f（f（3））=f（-5）=1-2×（-5）=11；
（2）当-4≤x＜0时，f（x）为减函数，则
f（x）=4-x²∈[-12，4），
当x=0时，f（x）=2，
当0＜x＜3时，f（x）=1-2x∈[-5，1]，
f（x）取值的集合为{x|-12≤x＜4}；

点评：此题主要考查分段函数的性质及其应用，解题的过程中用到了分类讨论的思想，是一道基础题；