Question

已知函数f(x)=

4(a-3)x+a+ 1 2 (x＜0) ax，(x≥0)

，若函数f（x）的图象经过点（3，

1

8

），则a=

 

；若函数f（x）满足对任意x₁≠x₂，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0都有成立，那么实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：函数f（x）的图象经过点（3，

1

8

），因为3＞0，故a3=

1

8

，可求出a；
函数f（x）满足对任意x₁≠x₂，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，即f（x）为减函数，只要考虑x＜0时的单调性即可．

解答：解：函数f（x）的图象经过点（3，

1

8

），因为3＞0，故a3=

1

8

，所以a=

1

2

；
函数f（x）满足对任意x₁≠x₂，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，即f（x）为减函数，
x≥0时，f（x）=a^x为减函数，则0＜a＜1，且f（0）=1，
x＜0时，f（x）=4（a-3）x+a+

1

2

为减函数，故a-3＜0，a＜3，且x→0时，f（x）→a+

1

2

≥f（0）=1，所以a≥

1

2

综上可得：

1

2

≤ a＜1
故答案为：

1

2

，[

1

2

，1)

点评：本题考查待定系数法求函数解析式、分段函数的单调性，难度一般．