Question

在平面直角坐标系xOy中，线段AB与y轴交于点F（0，），直线AB的斜率为k，且满足|AF|•|BF|=1+k²．
（1）证明：对任意的实数k，一定存在以y轴为对称轴且经过A、B、O三点的抛物线C，并求出抛物线C的方程；
（2）对（1）中的抛物线C，若直线l：y=x+m（m＞0）与其交于M、N两点，求∠MON的取值范围．

Answer 1

解：（1）由已知设l_AB：y=kx+①
又设抛物线C：x²=ay（a＞0）②
由①②得x²-akx-=0
设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），，则x_A•x_B=-
由弦长公式得

∴|AF|•|BF|=（1+k²）×||
而|AF|•|BF|=1+k²，所以a=2，即抛物线方程为C：x²=2y

（2）设M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），由?x²-2x-2m=0
而△4+8m＞0（m＞0）
则x_M+x_N=2，x_M•x_N=-2m，
，
不妨设x_M＜x_N，由于m＞0，则x_M＜0＜x_N
令，则ON到OM的角为θ，且满足
tanθ=
令，则，t＞1且t≠
∴tanθ=
函数y=x与在（0，+∞）上皆为增函数
∴t-∈（-4，0）∪（0，+∞）
∴∈（-∞，-1）∪（0，+∞）
则θ∈（0，）∪（，），又m=2时，∠MON=θ=
∴∠MON∈（0，）
分析：（1）设出直线AB和抛物线C的方程并联立消y，在利用弦长公式求出AF和BF代入|AF|•|BF|=1+k²．即可求出抛物线C的方程；
（2）先把直线l的方程与抛物线C的方程联立消y，求出M、N两点横坐标之间的关系，再求出直线ON和MO的斜率，利用到角公式求出∠MON的正切．最后在利用函数的思想求出∠MON的正切值的范围，进而求出∠MON的取值范围．
点评：本题综合考查了直线与抛物线的位置关系以及弦长公式的应用问题．直线与圆锥曲线的位置关系，由于集中交汇了直线，圆锥曲线两章的知识内容，综合性强，能力要求高，还涉及到函数，方程，不等式，平面几何等许多知识，可以有效的考查函数与方程的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想和转化化归的思想，因此，这一部分内容也成了高考的热点和重点．