Question

15．在△ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，若a•cosC+c•cosA=2b•cosB．
（1）求B的大小；          
（2）若a+c=$\sqrt{10}$，b=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理和两角和的正弦公式化简已知的式子，根据内角和定理化简求出cosB的值，由内角的范围求出角B；
（2）由（1）和余弦定理列出方程，结合条件和整体代换求出ac的值，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．

解答 解：（1）由题意得，a•cosC+c•cosA=2b•cosB，
∴由正弦定理得，sinA•cosC+sinC•cosA=2sinB•cosB．
∴sin（A+C）=2sinBcosB，
∵sin（A+C）=sinB≠0，∴cosB=$\frac{1}{2}$，
由0＜B＜π得，B=$\frac{π}{3}$；
（2）∵b=2，B=$\frac{π}{3}$，
∴由余弦定理得，b²=a²+c²-2accosB，
则4=a²+c²-ac，
又a+c=$\sqrt{10}$，则a²+c²=（a+c）²-2ac=10-2ac，
代入上式解得，ac=2，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查正弦、余弦定理，两角和的正弦公式，三角形的面积公式，以及整体代换求值，注意内角的范围，属于中档题．