Question

(本题满分12分)

如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点。

（1）求证：CD⊥AE；

（2）求证：PD⊥面ABE。

 

Answer 1

【答案】

（1）要证明线线垂直，则只要根据线面垂直的性质定理可以证明。

（2）对于线面垂直的证明，一般先证明线线垂直，然后结合线面垂直的判定定理得到，关键是证明AE⊥PD和BA⊥PD。

【解析】

试题分析：（I）证明：∵PA⊥底面ABCD

∴CD⊥PA

又CD⊥AC，PA∩AC=A，

故CD⊥面PAC 

AE面PAC，故CD⊥AE 

（II）证明：PA=AB=BC，∠ABC=60°，

故PA=ACE是PC的中点，故AE⊥PC

由（I）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，

故AE⊥PD

易知BA⊥PD，故PD⊥面ABE 

考点：线线垂直和线面垂直

点评：本试题考查了空间中线线与线面的位置关系的运用，关键是熟练的结合线线与线面垂直的判定定理和性质定理来得到证明，属于基础题。