Question

对于项数为m的有穷数列数集{a_n}，记b_k=max{a₁，a₂，…，a_k}（k=1，2，…，m），即b_k为a₁，a₂，…，a_k中的最大值，并称数列{b_n}是{a_n}的控制数列．如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5．
（1）若各项均为正整数的数列{a_n}的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{a_n}；
（2）设{b_n}是{a_n}的控制数列，满足a_k+b_m-k+1=C（C为常数，k=1，2，…，m）．求证：b_k=a_k（k=1，2，…，m）．

Answer 1

分析：（1）根据控制数列的定义，进行列举即可得到数列{a_n}；
（2）依题意可得b_k+1≥b_k，根据a_k+b_m-k+1=C，a_k+1+b_m-k=C，证明a_k+1-a_k=b_m-k+1-b_m-k≥0，即证得结论．

解答：（1）解：数列{a_n}为：2，3，4，5，1；2，3，4，5，2；2，3，4，5，3；2，3，4，5，4；2，3，4，5，5．
（2）证明：因为b_k=max{a₁，a₂，…，a_k}，b_k+1=max{a₁，a₂，…，a_k，a_k+1}，所以b_k+1≥b_k．
因为a_k+b_m-k+1=C，a_k+1+b_m-k=C，
所以a_k+1-a_k=b_m-k+1-b_m-k≥0，即a_k+1≥a_k．
因此，b_k=a_k．

点评：本题考查数列的应用，考查对抽象概念的理解与综合应用的能力，属于中档题．