Question

2．设a≠0，函数f（x）=ax³-3x²．
（1）若函数y=f（x）在[0，1]的最小值为-2，求a的值；
（2）若函数g（x）=e^xf（x）在[0，2]上是单调减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调性，从而求出函数的最小值，进而求出a的值；
（Ⅱ）由在[0，2]上是单调减函数可转化成在[0，2]上导函数恒小于零，再借助参数分离法分离出参数a，再利用导数法求出另一侧的最值即可

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³-3x²，a≠0，
∴f′（x）=3ax²-3x=3x（ax-1），
∴当a＞0时，
由f′（x）＞0得：x＞$\frac{1}{a}$
由f′（x）＜0得：x＜$\frac{1}{a}$，
∴当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，$\frac{1}{a}$），递增区间是（$\frac{1}{a}$，+∞）；
当$\frac{1}{a}$≥1，即：0＜a≤1时，f（x）在[0，1]递减，f（x）_最小值=f（1）=a-3=-2，解得：a=1，符合题意；
当0＜$\frac{1}{a}$＜1，即a＞1时，f（x）在[0，$\frac{1}{a}$）递减，在（$\frac{1}{a}$，1]递增，
∴f（x）_最小值=f（$\frac{1}{a}$）=-2，解得：a=-1或a=1（舍），
当a＜0时，由f′（x）＞0得：x∈∅，由f′（x）＜0得：x∈R；
函数f（x）的单调递减区间为R；
∴f（x）_最小值=f（1）=a-3=-2，解得：a=1，不合题意；
综上：a=1．
（Ⅱ）由题设，g′（x）=e^x（ax³-3x²+3ax²-6x），又e^x＞0，
所以，?x∈（0，2]，ax³-3x²+3ax²-6x≤0，
这等价于，不等式a≤$\frac{{3x}^{2}+6x}{{x}^{3}+{3x}^{2}}$=$\frac{3x+6}{{x}^{2}+3x}$对x∈（0，2]恒成立．
令h（x）=$\frac{3x+6}{{x}^{2}+3x}$（x∈（0，2]），
则h′（x）=-$\frac{3{（x}^{2}+4x+6）}{{{（x}^{2}+3x）}^{2}}$=-$\frac{3{[（x+2）}^{2}+2]}{{{（x}^{2}+3x）}^{2}}$＜0，
所以h（x）在区间（0，2]上是减函数，
所以h（x）的最小值为h（2）=$\frac{6}{5}$．
所以a≤$\frac{6}{5}$．即实数a的取值范围为：{a|a≤$\frac{6}{5}$且a≠0}．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，本题属于中档题．