Question

5．在锐角三角形△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且（a+b+c）（a+c-b）=（2+$\sqrt{3}$）ac
（1）求角B；
（2）求cosA+sinC的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件化简可得a²+c²-b²=$\sqrt{3}ac$，根据余弦定理可求得：cosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合B是锐角，即可求B的值．
（2）利用三角函数恒等变换的应用化简可得cosA+sinC=$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{3}$），求出A$+\frac{π}{3}$范围，即可得解．

解答 解：（1）由条件可得，（a+c）²-b²=（2+$\sqrt{3}$）ac，即a²+c²-b²=$\sqrt{3}ac$，
根据余弦定理得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵B是锐角，∴B=$\frac{π}{6}$．…（5分）
（2）∵B=$\frac{π}{6}$，∴A+C=$\frac{5π}{6}$即C=$\frac{5π}{6}-A$，
∴cosA+sinC=cosA+sin（$\frac{5π}{6}-A$）
=cosA+sin$\frac{5π}{6}$cosA-cos$\frac{5π}{6}$sinA
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sinA+\frac{3}{2}cosA$
=$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{3}$）．…（8分）
又△ABC是锐角三角形，∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜A＜\frac{π}{2}}\\{0＜C＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{0＜A＜\frac{π}{2}}\\{0＜\frac{5π}{6}-A＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\frac{π}{3}＜A＜\frac{π}{2}$，∴$\frac{2π}{3}＜$A$+\frac{π}{3}$$＜\frac{5π}{6}$，
∴cosA+sinC$∈（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}）$．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，属于基本知识的考查．