Question

在直角坐标系xOy中，曲线C₁的点均在C₂：（x-5）²+y²=9外，且对C₁上任意一点M，M到直线x=-2的距离等于该点与圆C₂上点的距离的最小值．
（Ⅰ）求曲线C₁的方程；
（Ⅱ）设P（x₀，y₀）（y₀≠±3）为圆C₂外一点，过P作圆C₂的两条切线，分别与曲线C₁相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线x=-4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．
（Ⅲ）设P（-4，1）为圆C₂外一点，过P作圆C₂的两条切线，分别与曲线C₁相交于点A，B和C，D．证明：四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设知，曲线C₁上任意一点M到圆心C₂（5，0）的距离等于它到直线x=-5的距离，根据抛物线的定义，可得求曲线C₁的方程；
（Ⅱ）设切线方程为y-y₀=k（x+4），与抛物线方程联立，利用韦达定理，即可得出结论；
（Ⅲ）因为当P（-4，1）在直线x=-4上，所以由（Ⅱ）知结论成立．

解答：（Ⅰ）解：由题设知，曲线C₁上任意一点M到圆心C₂（5，0）的距离等于它到直线x=-5的距离，
因此，曲线C₁是以（5，0）为焦点，直线x=-5为准线的抛物线，
故其方程为y²=20x．
（Ⅱ）证明：当点P在直线x=-4上运动时，P的坐标为（-4，y₀），
又y₀≠±3，则过P且与圆C₂相切得直线的斜率存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，
切线方程为y-y₀=k（x+4），即kx-y+y₀+4k=0．于是

|5k+y0+4k|

k2+1

=3
整理得72k2+18y0k+y02-9=0①
设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k₁，k₂，则k₁，k₂是方程①的两个实根，
故k₁+k₂=-

18y0

72

=-

y0

4

②
由

k1x-y+y0+4k1=0 y2=20x

得k1y2-20y+20(y0+4k1)=0 ③
设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y₁，y₂，y₃，y₄，则是方程③的两个实根，
所以y₁y₂=

20(y0+4k1)

k1

④
同理可得y₃y₄=

20(y0+4k2)

k2

⑤
于是由②，④，⑤三式得y₁y₂y₃y₄=

20(y0+4k1)

k1

•

20(y0+4k2)

k2

=

400(y02-y02+16k1k2)

k1k2

=6400．
所以，当P在直线x=-4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400．
（Ⅲ）证明：因为当P（-4，1）在直线x=-4上，
所以由（Ⅱ）知四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400．

点评：本题考查抛物线的定义，考查抛物线的切线，考查学生分析解决问题的能力，难度大．