Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是菱形，，侧棱面，.

（1）若是的中点，求与所成的角；

（2）设是上一点，过的平面将四棱柱分成体积相等的两部分，求.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）设菱形的边长为单位1，则.取的中点，连接.可得（或其补角）就是与所成的角.在中求出这个角即可；

（2）作出过的平面与侧面的交线为.可证得，设，，多面体的体积等于三棱锥与四棱锥的体积之和，由此求得，可得．

设菱形的边长为单位1，则.

（1）取的中点，连接.

∵是是中点，∴，，，（或其补角）就是与所成的角.

∵面，∴面，而面，∴.

在中，因为，，

所以，即.

从而在中，，故.

∴异面直线与所成的角的60°.

（2）如图，设过的平面与侧面的交线为.

∵，不在平面内，∴面，∴，于是.

连接，，，设，，

则直角梯形中，，其面积.

过在平面内作，是垂足，在等边三角形中，.

∵面，∴，得面，

多面体的体积

，

∴，（舍去大于1的）.

由，得.