Question

9．已知f（x）=$\frac{{2}^{1+x}+{2}^{1-x}+arcsinx}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$的最大值和最小值分别是M和m，则M+m=4．

Answer 1

分析 化简f（x），再设g（x）=$\frac{arcsinx}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$，（-1≤x≤1），判断g（x）的奇偶性，可得g（x）的最值互为相反数，即可得到所求最值之和．

解答 解：f（x）=$\frac{{2}^{1+x}+{2}^{1-x}+arcsinx}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$
=$\frac{2（{2}^{x}+{2}^{-x}）+arcsinx}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$=2+$\frac{arcsinx}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$，
设g（x）=$\frac{arcsinx}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$，（-1≤x≤1），
g（-x）=$\frac{arcsin（-x）}{{2}^{-x}+{2}^{x}}$=-$\frac{arcsinx}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$=-g（x），
即g（x）为奇函数，
可设g（x）的最大值为t，则最小值为-t，
可得M=t+2，m=-t+2，
即有M+m=4．
故答案为：4．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用奇函数的性质，考查运算能力，属于中档题．